Kullanıcı:Satirdan kahraman/1

BULDURU

Başlangıç tarifler 5

I. KISIM

I. Çeşit çizgiler 6
II. Çember 6
III. Paralel 9
IV. Açı 9
V. Poligonlar 18
VI. Üçgenler 20
VII. Dörtgenler 22
VIII. Düzgün Poligonlar 24

II. KISIM

I. Poligonlar 26
II. Dayire 31
III. Dikeyin çap karesi 33
IV. İmsiy 35
V. İmsel şekillerin çevreleri ile alanları arasında oran 38

III. KISIM

I. Silindir ve pürüzma 40
II. Koni ve piramit 43
III. Yüre 46
GEOMETRİ

BAŞLANGIÇ TARİFLER

1. Canlı veya cansız, yaradılmış veya yapılmış her şey bir "Cisim"dir.

Misal: İnsan, hayvan, ağaç, toprak, (su, ay), taş, masa, sıra, iskemle, kitap, kalem, kâğıt.

2. Cisimde üç "Boyut" yahut "Direget" vardır: Uzunluk, genişlik ve yükseklik.

Cisimlerde yükseklik olduğu gibi derinlik te vardır.

Misal: Minarede yükseklik vardır. Kuyuda derinlik vardır.

Cisimlerde bazan genişliğe, kalınlık ta derler:

Duvarın genişliği dendiği gibi, duvarın kalınlığı da denir.

3. Bir cismin "Uzay" içinde doldurduğu açıklığa o cismin "Hacım"ı denir.

Misal: Bir rafta yanyana dizilmiş olan bir kaç kitabın ortasından birini çektiğimiz zaman o kitaplar arasında kalan açıklığa, çektiğimiz kitabın "Hacım"ı denir.

4. Üç boyutlu her uzam, bir "Hacım"dır

5. İki boyutlu uzam'a, "Yüzey" denir.

6. "Çizgi", yalnız bir boyutlu uzamdır.

7. Üç boyuttan her biri kendinde olmıyan yarlık, bir "Nokta"dır.

8. "Geometri", çizgilerin, yüzeylerin ve hacimlerin belli bir ölçü ile genliklerini ölçmeyi öğreten bir ilimdir.

I. KISIM

§I. ÇEŞİT ÇİZGİLER

9. "Doğru çizgi" veya "Doğru" bir noktadan diğer bir noktaya olan en kısa yoldur. İyice gerilmiş bir iplik, doğru çizgiyi güzelce anlatır.

10. "Düzey" öyle bir yüzeye denir ki, onun üzerinde her yönde doğru çizgiler çizilebilir.

Misal: Bir kara tahtanın yüzeyi, bir düzeydir.

11. Hiç bir parçası düz olmayan yüzeye, "Eğri yüzey" denir.

Misal: Bir yumurtanın yüzeyi gibi.

12. "Kırık çizgi", bir çok doğru çizgilerin birleşmesidir.

13. "Eğri çizgi" veya "Eğri" hiç bir parçası doğru olmıyan çizgidir.

Misal: Bir ipliği iki noktasından tutup gevşek bırakırsanız onun gösterdiği çizgi, eğri çizgidir.

14. Eğri çizgilerin en önemlisi "Çember" dir.

§ II. ÇEMBER

15. "Çember", düzey üzerinde öyle bir kapalı eğridir ki üzerindeki her nokta, onun içinde bulunan ve merkez denilen bir noktadan aynı uzaklıktadır.

16. Çemberin kapadığı düzeye "Dayire" denir. Çember yerine bir çok defalar dayire dendiği de olur. Dayire gibi olan şeylere 'Tekerlek" de denir.

Misal: Bu odada tekerlek bir masa vardır.

17: 'Yay', çemberin herhangi bir parçasıdır.

18: Çember, 360 eşit parçaya ayrılır. Bunlardan her birine "Derece" denir.

Her derece dahi 60 eşit parçaya ayrılır. Bunların her birine 'Dakka' denir.

Dakka da 60 eşit parçaya ayrılır. Bunların da her birine 'Saniye' denir.

Dereceyi göstermek için, dereceyi bildiren rakamın sağ üstüne küçük bir sıfır konur. Dakka, rakamının sağ üstüne, sağdan sola eyik küçük bir çizği ile ve saniye de, yanyana konmuş iki çizgi ile gösterilir. Misal: 54 derece, 45 dakka, 18 saniye şöyle yazılır

54°

18"

45'

19.Bir yayı ölçmek için, -bir parçası olduğu- çemberin kaç derecesini kapladığı araştırılır.

Misal: ABC yayı AHKMCBA çemberinin bir parçasıdır. Çemberde 360° vardır. ABC yayı, bu çemberin yalnız 45°sini kapsadığından ona 45°lik bir yay denir.

20. Çember ve dayire ilgili olan çizgiler şunlardır:

T üçgeninin alanı da T' = 10 × 6/2 = 30 dur. Görüyoruz ki 270, 30 dan 9 kere büyüktür.

III. KISIM

Katıylar
§ I. SİLİNDİR VE PÜRÜZMA

Silindir

106. Silindir o şekilde bir katıy [1] dır ki onun yan yüzeyi bir eğri yüzeydir. Bu şekilde olan katıy, herhangi bir yatay düzeyde yuvarlanabilir. İşte bunun içindir ki ona silindir denmiştir. Silindirde karşılıklı tabanlar paralel ve eşittir.

107. Bir silindirin yüksekliği, üst tabanından alt tabanına indirilen dikeydir.

108. Bir silindir, kenarının tabanlarına dikey ve eğik olduğuna göre «dikey silindir» veyahut «eğik silindir" dir.

109. Dikey silindirin yan yüzünün alanı. Dikey bir silindirin yan alanı, yüksekliğiyle tabanlarından birinin çemberinin çarparığına eşittir.

Misal: Yüksekliği 0,80 m. ve tabanlarından herbirinin çemberi 1,29 m. olan bir dikey silindir düşünelim. Bu silindirin yan alanı 0,80 × 1,20 = 096 mk. dir.

110. Bir silindirin yan yüzeyini yayarsak bir dikey dörtgen elde ederiz ki, bunun tabanı silindir tabanı çemberine ve yüksekliği de silindirin yüksekliğine eşit olur.
111. Bir silindirin hacmı, onun tabanı alanının yüksekliği çarparığına eşittir.
Misal: Yüksekliği 0,80 m. ve tabanlarından her birinin alanı 0,30 mk. olan bir silindir düşünelim. Bu silindirin hacmı 0,30 × 0,80 = 0,24 mkp. tür.

Pürüzma

112. Pürüzma. Bir pürüzma, öyle bir katıydır ki, onun yan düzeyleri paralelkenar düzeylerdir. Tabanları da birbirine eşit ve paraleldir. Ancak silindir gibi yuvarlanamaz. Yuvarlanmasına pürüz olan kenarları vardır; ondan dolayıdır ki, buna silindire göre pürüzma denmiştir
113. Bir pürüzmada kenar düzeyleri birbirinden ayıran doğru çizgilere "ayrıt" denir.
114. Bir pürüzma onun ayrıtlarının iki tabanlarına dikey ve eğik olduklarına göre "dikey pürüzma" veya "eğik pürüzma" dır.
115. Bir pürüzmanın yüksekliği üst tabanından alt tabanına indirilen dikeydir.
116. Bir pürüzmanın tabanları üçgen, dörtgen, beşgen ve daha çok olduğuna göre, "üçgen pürüzma", "beşgen pürüzma" v.b. adını alır.
117. Bir pürüzmanın "yanal alanı", onun iki tabanını birleştiren paralel kenarların toplamıdır.
118. Bir pürüzmanın ökül alanı: Bir pürüzmanın ökül alanı yanal yüzeyi ile tabanları yüzeyinin alanlarının ökülüne eşittir.
119. Dikey pürüzmanın yanal yüzeyi: Bir dikey pürüzmanın yanal yüzeyi, onun yüksekliğile tabanlarının birinin çember çarparığına eşittir. Misal: Tabanlarından birinin çemberinin çevresi 1,20 m ve yüksekliği 0,80 m. olan bir pürüzma düşünelim. Bu pürüzmanın yanal yüzeyi 0,80 × 1,20 = 0,96 mk. dir.
120. Bir dikey pürüzmanın yanal yüzeyini yayarsak ortaya bir dikey dörtgen çıkar. Bunun tabanı, pürüzmanın tabanının çevresine ve yüksekliği, pürüzmanın yüksekliğine eşittir.
121. Pürüzmanın hacmi: Herhangi bir pürüzmanın hacmi, tabanlarından birinin yüzeyile yüksekliğinin çarparığına eşittir.
Misal: Tabanlarından birinin yüzeyi 4,32 mk. ve yüksekliği 0,80 m. olan bir pürüzma düşünelim. Bunun hacımı 4,32 × 0,80 ? 3,456 mkp. tür.

Küp

122— Küp: Küp, içi boş olan ve içine bir şey alan cisimdir. Su küpü, pekmez küpü dediğimiz zaman içine su veya pekmez doldurulan ve onları alabilecek boşluk kendinde bulunan bir cisim anlarız. Küpe göre daha küçük olan kupa ve kap ta vardır. Küp, kap ve kupa türlü şekillerde olabilir.
123. Kareküp: Yüzeyleri ve tabanları kare olan bir dikey pürüzmaya "Kareküp", veya sadece "Küp" denir.
124. Küpün ökül alanı: Küpün ökül alanını bulmak için, onun kenarlarından birinin karesini altı ile çarparız.
Misal: Kenarlarından her biri 0 50 m. uzunluğunda olan bir küp düşünelim. Onun kenarı karesi 0,50 × 0,50 ? 0 25 mk. dir. O halde küpün ökül alanı 0,25 × 6 = 150 mk. tür.
125. Küpün hacmi: Bir küpün hacmi, kenarının "3 üstüne" eşittir. Bir sayının 3 üsü öyle bir çarparığdır, ki onda o sayı 3 defa çarpan olarak bulunur.
Misal I: 5 in 3 üsü, yani 5³: 5×5×5 = 125 tir.
Misal II: Kenarlarından herbiri 0,03 m. olan bir kutu alalım. Bunun hacmi 0,03 × 0,03 × 0,03 = 0,000027 mkp. tür.

§ II. KONİ ve PİRAMİT

126. Koni: Huniye benziyenbir katıydır. Konide taban bir dayiredir. Tabanın karşıtı bir noktadır.
127. Dikey koni: Dikey koninin tepesinden tabanına indirilen dikey, tabanın merkezinden geçerse ona "Dikey koni" denir.
Dikey koni, bir dikey üçgenin dikey kenarlarından biri etrafında tam olarak dönmesinden ortaya çıkar.
128. Koninin yanal alanı: Bir dikey koninin yanal alanı taban çemberile kenar çizgisi yarısının çarparığına eşittir.
Misal: Taban çemberi 1,885 m. ve kenar çizgisi 0,50 m. olan bir konide yanal alanı 1,885 × 0,50/2 = 0,4712 mk. dir.
Koninin hacmı: Herhangi bir koninin hacmı, tabanı alanı ile yüksekliğinin üçte birinin çarparığına eşittir.
Misal: Tabanı alanı 0,78 mk. ve yüksekliği 0,40 m. olan bir koninin hacmı 0,78 × 0,10/3 = 0,104 mkp. tür.
Kesik koni: Dikey kesik koni, üst parçası tabanına paralel bir düzey ile kesildikten sonra katıydır. Bir dikey kesik koninin yanal alanını bulmak için onun kenar çizgisini, taban çemberlerinin yarı toplamı, her iki tabandan ayni uzaklıkta bulunan orta çemberlerinin uzunluğunu gösterir.

Misal: Üst tabanı çemberi = 0,25 m. alt tabanı çemberi = 1,256 m.; kenar çizgisi = 0,30 m. olan bir kesik konide taban çemberlerinin yarı toplamı = 0,25 + 1,256/2 = 0,753 m. dir. Bu kesik koninin yanal alanı 0,753 × 0,30 = 0,2259 mk. e eşit olur.

Kesik koninin hacmı: Bir kesik koninin hacmını bulmak için, alt tabanının yarı çapının karesi, üst tabanının yarı çapının karesi ve bu iki yarıçapın çarparığı toplanır. Bu toplam ile çarpılır ve elde edilen çarparığ da, yüksekliğinin üçte biri ile çarpılır. Böylece hacım elde edilir.

Misal: I. Boyutları aşağıda yazılı olan bir kesik koni alalım:
Alt tabanının yarıçapı = 0,50
Üst tabanının yarıçapı = 0,40
Yükseklik = 0,60
Büyük yarıçapın karesi = 0 50 × 0,50 = 0,25
Küçük » » = 0,40 × 0,40 = 0,16
Bu iki yarıçapın çarparığı = 0,50 × 0,40 = 0,20
Yarıçaplarının kareleri ile onların biribirile olan çarparığının toplamı 0,25 + 0,16 + 0,20 = 0,61 dir.
Kesik koni hacmi: 0,61 × 3,1416 × 0,60/3 = 0,383 mkp. tür.

Misal: II. Bir kesik koni şeklinde ve aşağıda yazılı boyutlarda olan bir kova'nın ne aldığını arıyalım:
Yükseklik = 0,45
Üst yarıçap = 0,15
Alt yarıçap = 0,10
Kesik koninin hacmını bulmak için gösterilen hesabı yaparak şunu elde ederiz:
[(0,15 0,15)+(0,10 × 0,10)+(0,15 × 0,10)] × 3,1416 × 0,45/3 = 0,0223839 mkp. tür. Demek ki kova, içine 22 litre alıyor.

129. Piramit: Piramit, yanal yüzeyleri tepe denilen noktadan başlıyan ve bir poligonun kenarlarında biten üçgenlerin meydana getirdikleri bir katıydır. Poligon, piramidin tabanı olur. Mısırda ölüleri barımak için yapılmış olan büyük mezarlar, analttığımız şekildedirler. Bu mezarlar, ölüleri içlerinde barındırdıkları için "bıramıt" veyahut "piramit" dirler. Piramitler, Türklerin en eski yapı şekillerinden biridir Asker çadırları içinde barınılan birer piramittirler ve şekilleri de anlattığımız gibidir.

130. Düzgün bir piramitte yüzler, ikizkenar üçgenlerdir. Bu üçgenlerden her birinin yüksekliğine, "piramidin içyarıçapı" denir.

131. Düzgün bir piramitte şunlar ayırt edilmelidir:
1 — Piramidin yüksekliği;
2 — Yanal yüzlerin yüksekliği, yahut piramidin içyarıçapı;
3 — Piramidin tabanı olan düzgün poligonun içyarıçapı. 132. Piramidin yanal alanı: Bir düzgün piramidin yanal alanı, tabanının çevresi ile piramidin içyarıçapı yarısının çarparığına eşittir.

Misal: Taban poligonunun her kenarı 0,25 m. ve içyarıçapı 0,30 m. olan düzgün bir beşgen piramit alalım. Tabanının çevresi 0,25 × 5 = 1,25 tir. Piramidin yanal alanı 1,25 × 0,30/2 = 0,1875 tir. 133. Piramidin hacmı: Herhangi bir piramidin hacmı, tabanının alanı ile yüksekliğinin üçte birinin çarparığına eşittir.

Misal: Tabanının alanı 0,25 mk. ve yüksekliği 0,27 m. olan bir piramit alalım. Bu piramidin hacmı: 0,25 × 0,27/3 = 0,0225 mkp. tür.

§ III. YÜRE

134. Yüre, her noktası, merkez denilen bir iç noktadan eşitleyin uzak bir eğri yüzeyle çevrilmiş bir katıydır.

135. Yüreyin yarıçapı, merkezden yüzeyin her hangi bir noktasına giden bir doğru çizgidir.

136. Yüreyin alanı: Yüreyin alanı, yüre yarıçapında olan bir dayirenin alanının dört ile çarparığına eşittir.
Yarıçapı 0,50 m. olan bir yürede 0.50 m. yarçapında olan bir dayirenin alanı 0,50 × 0,50 × 3,1416 = 0,7854 mk. tür. Yürenin alanı bu dayire alanının 4 ile çarparığına eşit olur.

0,7854 × 4 = 3,1416 mk.

137. Yürenin hacmı: Yürenin hacmı, yürenin alanını yarıçapının üçte birine çarparak elde edilir.
Yarıçapı 0,50 m. olan bir yüre alalım:
Bu yürenin alanı 3,1416 mk. olduğunu yukarda bulmuştuk.
Yürenin hacmi 3,1416 × 0,50/3 = 0,5236 mkp. tür. 138. Hacımların oranı: iki imsel katıyın hacımlarının arasındaki oran, onların iki homolog boyutlarının küpleri veya 3 üsleri oranının aynidir.
Bütün yüreler imsel katıylar olduğundan hacımlarının oranı yarıçaplarının küplerinin oranının aynidir.

Misal: Yarıçapları 6 ve 12 metre olan iki yüre alalım. Bunların hacımlarının oranı, 6 ve 12 nin küpleri, yani 216 ve 1728 in oranına, yani 1 in 8 e olan oranına eşittir.
Bunun doğru olup olmadığını araştıralım:

Küçük yürenin hacmı:
4 × 3,1416 × 6 × 6 × 6/4 = 904,7808 mkp. tür.

Büyük yürenin hacmı:
4 × 3,1416 × 12 × 12 × 12/3 = 7238,2464 mkp. tür.

Bu iki sayıyı karşılaştırırsak, görürüz ki, küçük yürenin hacmı büyük yürenin hacmında 8 kere vardır.

İhtar: İki temel katıy yüzeyi arasındaki oran, homolog boyutları karelerinin oranına eşittir; iki homolog yüzün oranı da böyledir.

139. Tarif: Tarif, geometrik veya genel olarak herhangi bir bilgiye ait şeyin derli toplu kısa anlatımına denir. Bu kısa anlatım, o şeyin ne olduğunu uzun uzadıya düşünüldükten, arandıktan, tarandıktan sonra derlenen öz anlamı kapsayan sözlerden kurulan kapsadır.

140. Aksiyom: Aksiyom, kendinin ne olduğunu ispat gereksiz olan besbelli bir şeydir.

Misal: İki çizginin ayrı ayrı uzunluğu bir üçüncü çizginin uzunluğuna eşit ise, onların uzunlukları birbirine eşittir. 141. Teorem ve teori: Hakikati, bir takim ta- ramalar sonunda, meydana çıkan düşünüplere teorem veya teori derler.

142. Varsayı: Varsayı, syle bir düşünüğdür ki, o hakikatte vardır veya yoktur, fakat var sayılır.

Misal: Kara tahtaya gelişi güzel bir üçgen çizelim. Bu üçgenin kenarlarını 3, 5, 6 uzunluğunda varsayalım. İşte bu var saymaya, “varsayı” denir. Buna benzer her işlev varsayıktır. Varsayık olan şeylerin anlatılması için kullanılan terim “varsayı” dır.